Síntesis de funciones de excitación RC-RL

Por Mariano Llamedo Soria

Resumen

Se presentan los métodos de Foster y Cauer para la síntesis de redes no disipativas. Ambos métodos nos permitirán implementar cualquier función de excitación, real y positiva (FRP), en una red eléctrica canónica, es decir, con la menor cantidad posible de componentes.

• Dibujo de redes: dibujar_cauer_RC_RL, dibujar_foster_derivacion, dibujar_foster_serie

• Funciones de síntesis de dipolos: cauer_RC, foster, foster_zRC2yRC

• Funciones para presentación de markdown y latex: print_subtitle, print_latex, a_equal_b_latex_s

Introducción a las funciones de excitación RC-RL

Se extiende ahora el estudio a las funciones de excitación (FE) compuestas solamente por dos elementos, siendo uno de ellos necesariamente disipativo. Esto significa redes RC ó RL, cuya inmitancia seguirá siendo \(F(s)\). En este documento se analizan solo las redes RC, ya que han tenido mayor importancia tecnológica, pero las RL pueden comprenderse mediante las siguientes dualidad:

• \(Z_{RC} \sim Y_{RL}\)

• \(Y_{RC} \sim Z_{RL}\)

es decir que se puede pensar en una \(Z_{RC}\) a la Foster

\[ Z_{RC}(s)= \frac{k_0}{s} + k_K + \sum_{i=1}^N\frac{k_i}{s+\sigma_i} \]

o una \(Y_{RC}\)

\[ Y_{RC}(s)= k_K + s. k_\infty + \sum_{i=1}^N\frac{k_i.s}{s+\sigma_i} \]

dichas expresiones tienen implicancias circuitales que conviene tenerlas presentes antes de continuar con los siguientes ejemplos. Como aspecto distintivo notar que:

• \( Z_{RC}(s) \) no tendrá residuo \(k_\infty\)

• \( Y_{RC}(s) \) no tendrá residuo \(k_0\)

al realizar la expansión en fracciones simples. Se refiere al lector interesado al cap. 4 del libro de Araujo Síntesis de redes lineales, o al cap. 11 de Network Synthesis de Franklin Kuo, donde podrán comprender todas las implicancias de éstas funciones.

La expansión en fracciones continuas, es decir al aplicar el método de Cauer, también dará lugar a redes escalera (al igual que en las FE NO disipativas) como pronto se mostrará.

Referencias

1. Kuo, F. Network Analysis and Synthesis.

2. Araujo, A. (1987) Análisis y Síntesis de Funciones de Red (Tomos I y II). Editorial GYVE. ISBN 978-987-43-4583-7

3. Warzanskyj Poliscuk, Wsewolod. Métodos de síntesis de redes lineales. Dpto. de Publicaciones. Universidad Politécnica de Madrid. 1977.

import sympy as sp

# Ahora importamos las funciones de PyTC2

from pytc2.sintesis_dipolo import cauer_RC, foster, foster_zRC2yRC
from pytc2.dibujar import dibujar_cauer_RC_RL, dibujar_foster_derivacion, dibujar_foster_serie
from pytc2.general import print_latex, print_subtitle, a_equal_b_latex_s
from IPython.display import display,  Markdown

# Importante importar símbolos de variables 
from pytc2.general import s

# Sea la siguiente función de excitación
ZRC = (s**2 + 4*s + 3)/(s**2 + 2*s)
YRC = 2*(s**2 + 4*s + 3)/(s**2 + 8*s + 12)

print_subtitle('Funciones con las que trabajaremos')

print_latex(a_equal_b_latex_s('Z_{RC}(s)', ZRC))
print_latex(a_equal_b_latex_s('Y_{RC}(s)', YRC))

Funciones con las que trabajaremos

\[\displaystyle Z_{RC}(s)=\frac{s^{2} + 4 s + 3}{s^{2} + 2 s}\]

\[\displaystyle Y_{RC}(s)=\frac{2 s^{2} + 8 s + 6}{s^{2} + 8 s + 12}\]

# Se expande ZRC a la Foster
k0, koo, ki_wi, kk, ZRC_foster = foster(ZRC)

print_subtitle('Expansión Foster de $Z_{RC}$ ')

print_latex(a_equal_b_latex_s(a_equal_b_latex_s('Z_{RC}(s)', ZRC)[1:-1], ZRC_foster ))

print_latex(a_equal_b_latex_s('k_0', k0))

print_latex(a_equal_b_latex_s(r'k_1 = \left[ \frac{1}{  k_k + s. k_\infty } \right]  = \
                                             \left[ \frac{1}{ \frac{\sigma_1}{k_1} + s. \frac{1}{k_i} } \right] = \
                                             \left[ k_k, k_\infty \right] = \
                                       \left[ \
                                             \left[ \frac{\sigma_1}{k_1}, \frac{1}{k_1} \right] \
                                       \right]', ki_wi ))


print_latex(a_equal_b_latex_s('k_k', kk))

Expansión Foster de $Z_{RC}$

\[\displaystyle Z_{RC}(s)=\frac{s^{2} + 4 s + 3}{s^{2} + 2 s}=1 + \frac{1}{2 \left(s + 2\right)} + \frac{3}{2 s}\]

\[\displaystyle k_0=\frac{3}{2}\]

\[\displaystyle k_1 = \left[ \frac{1}{ k_k + s. k_\infty } \right] = \ \left[ \frac{1}{ \frac{\sigma_1}{k_1} + s. \frac{1}{k_i} } \right] = \ \left[ k_k, k_\infty \right] = \ \left[ \ \left[ \frac{\sigma_1}{k_1}, \frac{1}{k_1} \right] \ \right]=\left[ \left[ 4, \ 2\right]\right]\]

\[\displaystyle k_k=1\]

print_subtitle('Implementación circuital $Z_{RC}$ Foster serie')

# Tratamos a nuestra función imitancia como una Z
dibujar_foster_serie(k0 = k0, koo = koo, ki = ki_wi, kk = kk, z_exc = ZRC_foster)

Implementación circuital $Z_{RC}$ Foster serie

# Se expande YRC a la Foster. Notar que se expande YRC/s, como si fuera ZRC. (Ver Kuo 331)
k0, koo, ki_wi, kk, YRC_foster = foster(YRC/s)

# Luego lo multiplicamos por s para obtener la YRC original.
k0, koo, ki_wi, kk, YRC_foster = foster_zRC2yRC(k0, koo, ki_wi, kk, YRC_foster)

print_subtitle('Expansión Foster de $Y_{RC}$ ')

print_latex(a_equal_b_latex_s(a_equal_b_latex_s('Y_{RC}(s)', YRC)[1:-1], YRC_foster ))

print_latex(a_equal_b_latex_s('k_\infty', koo))

print_latex(a_equal_b_latex_s(r'k_1 = \left[ \frac{1}{ \frac{k_0}{s} +  k_k } \right]  = \
                                             \left[ \frac{1}{ \frac{1}{s. \frac{k_1}{\sigma_1}} + \frac{1}{k_1} } \right] = \
                                             \left[ k_0, k_k \right] = \
                                       \left[ \
                                             \left[ \frac{\sigma_i}{k_i}, \frac{1}{k_i} \right] \
                                       \right]', ki_wi ))


print_latex(a_equal_b_latex_s('k_k', kk))

Expansión Foster de $Y_{RC}$

\[\displaystyle Y_{RC}(s)=\frac{2 s^{2} + 8 s + 6}{s^{2} + 8 s + 12}=\frac{5 s}{4 s + 24} + \frac{s}{4 s + 8} + \frac{1}{2}\]

\[\displaystyle k_\infty=0\]

\[\displaystyle k_1 = \left[ \frac{1}{ \frac{k_0}{s} + k_k } \right] = \ \left[ \frac{1}{ \frac{1}{s. \frac{k_1}{\sigma_1}} + \frac{1}{k_1} } \right] = \ \left[ k_0, k_k \right] = \ \left[ \ \left[ \frac{\sigma_i}{k_i}, \frac{1}{k_i} \right] \ \right]=\left[ \left[ \frac{24}{5}, \ \frac{4}{5}\right], \ \left[ 8, \ 4\right]\right]\]

\[\displaystyle k_k=\frac{1}{2}\]

print_subtitle('Implementación circuital $Y_{RC}$ Foster serie')

# Recalculamos
k0, koo, ki_wi, kk, YRC_foster = foster(YRC/s)
k0, koo, ki_wi, kk, YRC_foster = foster_zRC2yRC(k0, koo, ki_wi, kk, YRC_foster)

# Tratamos a nuestra función imitancia como una Y
dibujar_foster_derivacion(k0, koo, ki_wi, kk, y_exc = YRC_foster)

Implementación circuital $Y_{RC}$ Foster serie

Implementación de Inmitacncias con inductores

Ahora presentamos las versiones equivalentes de las FE disipativas analizadas hasta ahora

print_subtitle('Implementación circuital $Y_{RC}$ como $Z_{RL}$')

# Tratamos a nuestra función imitancia como una Y
dibujar_foster_serie(k0, koo, ki_wi, kk, z_exc = YRC_foster)

Implementación circuital $Y_{RC}$ como $Z_{RL}$

print_subtitle('Implementación circuital $Z_{RC}$ como $Y_{RL}$')

k0, koo, ki_wi, kk, ZRC_foster = foster(ZRC)

# Tratamos a nuestra función imitancia como una Y
dibujar_foster_derivacion(k0, koo, ki_wi, kk, y_exc = ZRC_foster)

Implementación circuital $Z_{RC}$ como $Y_{RL}$

Expansión en fracciones continuas: Método de Cauer

Del mismo modo que el método de Foster se sustenta en la expansión en fracciones simples, el de Cauer consiste en la expansión en fracciones continuas. En el caso de FE disipativas, se realizará la expansión mediante los residuos \(k_0\), \(k_\infty\) y \(k_K\), dependiendo si se expande una \(Z_{RC}\) o una \(Y_{RC}\):

\[ Z_{RC}(s)= \frac{1}{s.C_1} + \frac{1}{ \frac{1}{R_1} + \frac{1}{ \frac{1}{s.C_2} + \cdots } } = R_1 + \frac{1}{ s.C_1 + \frac{1}{ R_2 + \cdots } } \]

\[ Y_{RC}(s)= s.C_1 + \frac{1}{ R_1 + \frac{1}{ s.C_2 + \cdots } } = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{ s.C_1 + \frac{1}{ \frac{1}{R_2} + \cdots } } \]

se ve claramente como sendas funciones de inmitancia, se corresponden con 2 redes diferentes, dependiendo dónde se realicen las remociones. Se darán ejemplos en los siguientes paneles.

Cauer 1: remociones en \(\infty\)

Se comienza con la primera forma del método, es decir cuando se realizan remociones de los residuos en infinito.

from pytc2.sintesis_dipolo import cauer_RC
from pytc2.dibujar import dibujar_cauer_RC_RL

# Implementaremos FF mediante Cauer 1 o remociones continuas en infinito
koo, ZRC_cauer_oo, rem = cauer_RC(ZRC, remover_en_inf=True)

print_subtitle('Implementación escalera de $Z_{RC}$ e $Y_{RL}$')

print_latex(a_equal_b_latex_s(a_equal_b_latex_s('$ Z_{RC}(s)', ZRC)[1:-1], ZRC_cauer_oo ))

# Tratamos a nuestra función inmitancia como una Z
dibujar_cauer_RC_RL(koo, z_exc = ZRC_cauer_oo)

print_latex(a_equal_b_latex_s(a_equal_b_latex_s('$ Y_{RL}(s)', ZRC)[1:-1], ZRC_cauer_oo ))

# Tratamos a nuestra función inmitancia como una Y
dibujar_cauer_RC_RL(koo, y_exc = ZRC_cauer_oo)

Implementación escalera de $Z_{RC}$ e $Y_{RL}$

\[\displaystyle Z_{RC}(s)=\frac{s^{2} + 4 s + 3}{s^{2} + 2 s}=1 + \frac{1}{\frac{s}{2} + \frac{1}{4 + \frac{6}{s}}}\]

\[\displaystyle Y_{RL}(s)=\frac{s^{2} + 4 s + 3}{s^{2} + 2 s}=1 + \frac{1}{\frac{s}{2} + \frac{1}{4 + \frac{6}{s}}}\]

Se observa, como es de esperarse, que interpretar la inmitancia como impedancia o admitancia utilizando Cauer 1, da lugar a redes duales. Sin embargo en ambos casos se observan transferencias pasabajo (respecto a un posible puerto de salida en el extremo derecho de la red), ya que se obtienen inductores en serie y capacitores en derivación.

Cauer 2: remociones en 0 o DC

Repetimos ahora para remociones de los residuos en 0 Hz, obtendremos dos redes también duales.

# Implementaremos FF mediante Cauer 1 o remociones continuas en infinito
koo, YRC_cauer_oo, rem = cauer_RC(YRC, remover_en_inf=False)

print_subtitle('Implementación escalera de $Y_{RC}$ y $Z_{RL}$')

print_latex(a_equal_b_latex_s(a_equal_b_latex_s('$ Y_{RC}(s)', YRC)[1:-1], YRC_cauer_oo ))

# Tratamos a nuestra función inmitancia como una Z
dibujar_cauer_RC_RL(koo, z_exc = YRC_cauer_oo)

print_latex(a_equal_b_latex_s(a_equal_b_latex_s('$ Z_{RL}(s)', YRC)[1:-1], YRC_cauer_oo ))

# Tratamos a nuestra función inmitancia como una Y
dibujar_cauer_RC_RL(koo, y_exc = YRC_cauer_oo)

Implementación escalera de $Y_{RC}$ y $Z_{RL}$

\[\displaystyle Y_{RC}(s)=\frac{2 s^{2} + 8 s + 6}{s^{2} + 8 s + 12}=\frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{\frac{8}{7} + \frac{1}{\frac{14}{5} + \frac{49}{5 s}}} + \frac{3}{s}}\]

\[\displaystyle Z_{RL}(s)=\frac{2 s^{2} + 8 s + 6}{s^{2} + 8 s + 12}=\frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{\frac{8}{7} + \frac{1}{\frac{14}{5} + \frac{49}{5 s}}} + \frac{3}{s}}\]

Ambas redes duales, tienen características en común como ser que ambas tienen capacitores en serie e inductores en derivación. Esto contrasta con las redes halladas mediante Cauer 1, donde observamos lo contrario: inductores en serie y capacitores en derivación. Está claro que Cauer 1 da lugar a redes que, en caso que imaginemos un puerto de salida en el extremo derecho de la red, serían filtros pasabajo, mientras que sintetizar una red mediante Cauer 2 da lugar a una red escalera pasa-altos.